Момент инерции. Теорема Штейнера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ Жестких ТЕЛ

Способом ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Цель работы

1.1. Экспериментальное определение моментов инерции жестких тел.

1.2. Проверка аксиомы Штейнера.

Теоретическая часть

Момент инерции. Аксиома Штейнера

Моментом инерции вещественной точки относительно оси именуют произведение массы этой точки mi на квадрат ее расстояния до оси

.

Моментом инерции тела относительно оси именуют сумму моментов инерции вещественных точек, из которых Момент инерции. Теорема Штейнера состоит это тело

. (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы dm, его момент инерции можно высчитать интегрированием

, (2.2)

где r - расстояние от элемента тела объемом dV до оси, относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Потому что dm = r dV, где r - плотность тела в данной области dV Момент инерции. Теорема Штейнера, то

.

Если тело однородно, то для всех областей ρ идиентично и

.

Более просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным рассредотачиванием массы по объему.

Рассчитаем момент инерции сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1).

Выделим элемент тела объемом dV и массы dm, длиной dr, шириной Момент инерции. Теорема Штейнера rdjи высотой h, где h- толщина диска отстоящий на расстоянии r от оси OO¢, масса этого элемента dm = r dV = r h dS = r h r dj dr.

Момент инерции диска

ρr3hdrdj ,

. (2.3)

Рис. 2.1 Из (2.3) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не Момент инерции. Теорема Штейнера находится в зависимости от толщины диска. Потому формула (2.3) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр тяжести, то момент инерции тела относительно

хоть какой параллельной оси можно найти, воспользовавшись аксиомой Штейнера, согласно которой момент инерции I Момент инерции. Теорема Штейнера тела относительно произ- свободной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси,

параллельной данной и проходящей через центр тяжести тела, и произведения

массы тела m на квадрат расстояния а меж осями

. (2.4)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном Момент инерции. Теорема Штейнера движении является его масса) и зависит не только лишь от массы тела, да и от ее рассредотачивания в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно хоть какой оси независимо от того, крутится оно либо находится в покое.

2.2. Способ трифилярного подвеса

В истинной работе моменты инерции жестких тел определяются при Момент инерции. Теорема Штейнера помощи трифилярного подвеса, представляющего из себя диск радиуса R, подвешенный горизонтально на 3-х нитях длиной L к недвижному диску наименьшего радиуса r (рис. 2.2). Центры дисков размещены на одной вертикальной оси OO¢, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр тяжести С диска радиуса R перемещается Момент инерции. Теорема Штейнера повдоль оси OO¢.

r L C R Рис. 2.2 При повороте нижнего диска на угол j вокруг оси OO¢ его перемещение равно h (рис.2.3), а приращение возможной энергии Eп=mgh , где m - масса нижнего диска. Колеблющийся диск совершает поступательное и вращательное движение, потому его кинетическая

энергия равна сумме кинетической Момент инерции. Теорема Штейнера энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

,

где I - момент инерции диска относительно оси OO¢,

w - угловая скорость диска,

v -скорость центра тяжести диска.

При маленьких смещениях диска по вертикали по сопоставлению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать Момент инерции. Теорема Штейнера, что диск совершает гармонические колебания и угол j его поворота меняется с течением времени по закону

,

где - амплитуда углового смещения,

T – период колебаний;

а изменение возможной энергии диска при наивысшем угле поворота равно наибольшей кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где - угловая скорость диска в момент прохождения положения Момент инерции. Теорема Штейнера равновесия.

Отсюда момент инерции диска

. (2.5)

Угловая скорость диска изменяется по гармоническому закону

.

Как следует, наибольшая угловая скорость равна

. (2.6)

Высоту h, на которую подымается диск, определим из геометрических суждений (рис. 2.3)

. (2.7)

О

r

L

l1 l

А

A1 h

R

Но

(2.8)

С учетом уравнения (2.8) уравнение (2.7) запишем в виде

.

При малых углах а .

Таким макаром

. (2.9)

Подставляя (2.6) и (2.9) в Момент инерции. Теорема Штейнера (2.5) получим

. (2.10)

Уравнение (2.10) можно использовать не только лишь для расчета момента инерции диска ( )относительно оси OO¢, да и для расчета момента инерции диска с грузами ( I ). Момент инерции груза ( ) можно отыскать

. (2.11)


molitva-prepodobnomu-nilu-stolobenskomu.html
molitva-prinosheniya-posle-postavleniya-bozhestvennih-darov-na-sv-prestole.html
molitva-svyashennomu-i-zhivotvoryashemu-krestu.html